Goudene sneed

Ut Wikipedy

De goudene sneed is de ferdieling fan in linestik yn twa dielen yn in spesjale ferhâlding. By de goudene sneed ferhâldt it grutste fan de beide dielen him ta de lytste, lykas it it hiele linestik him ferhâldt ta de it grutste. Jouwe wy it grutste diel oan mei a en it lytste diel mei b, dan is de ferhâlding fan beide sa dat a : b = (a+b) : a.

De bedoelde ferhâlding a/b wurdt it goudene getal neamd en oantsjutten mei de Grykske φ (phi); lykas hjirûnder oantoand wurdt, jildt:

$\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}62$

Hoewol't de wiskundige eigenskippen fan de goudene sneed al yn de âldheid bestudearre waarden, komt de term "goudene sneed" pas út de jierren 30 fan de 19e ieu.

Ynhâld

1 Wiskunde
2 Skiednis
- 2.1 Wiskunde
- 2.2 Estetika
  - 2.2.1 De Modulor
3 De goudene sneed yn de natoer
4 Mytes
5 Keppeling om utens
6 Literatuer
7 Fuotnoat

[bewurkje seksje] Wiskunde

[bewurkje seksje] Euklides

Euklides hat oanjûn hoe't in linestik ferdield heart te wurden om de goudene sneed te krijen. Dy goudene sneed by it punt S yn it linestik AB is sa dat:

$\frac{|AS|}{|SB|}=\frac{|AB|}{|AS|}.$

Foar de lingtes a en b fan de dielen betsjut dat:

$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$

De ferhâlding $\tfrac{a}{b}$ hjit it goudene getal en wurdt oantsjutten mei $\varphi$ .

Dêrfoar jildt dus:

$\varphi = 1 + \tfrac{1}{\varphi}$ ,

wat leidt tot de fjouwerkantsfergeliking

$\varphi^2 = \varphi + 1$ ,

$\varphi^2 - \varphi - 1 = 0$ ,

mei de positive oplossing

$\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}6180339887499\ldots$

Opmerking: útsein $\varphi$ hat de fergeliking ek de negative oplossing $-\tfrac 1\varphi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ .

[bewurkje seksje] Konstruksje mei passer en liniaal

De ienfâldichste konstruksje fan de goudene sneed giet sa (sjoch ôfbyld):

Tekenje in rjochthoekige trijehoek ABC mei de rjochthoeksiden AB fan lingte 1 en BC fan lingte 2. De hypotensa AC hat dan de lingte $\sqrt{5}$ .
Sirkelje út A wei it punt B om nei it punt D op de hypotenusa.
Sirkelje út C wei it punt D om nei it punt E op BC. No is

$EC = DC = \sqrt{5}-1$ ,

sadat

$BE = 2 - (\sqrt{5} - 1) = 3 - \sqrt{5}$ .

Dêrút folget:

$BE \times BC = 6 - 2 \sqrt{5}=EC^2;$ .

dus:

$\frac{BE}{EC}=\frac{EC}{BC}$ ,

mei oare wurden: de side BC is ferdield neffens de goudene sneed.

[bewurkje seksje] Oare konstruksje mei passer en liniaal

Oare konstruksje fan de goudene sneed mei passer en liniaal

Konstruearje in fjouwerkant ABCD mei siden fan de lingte 2.
Bepaal it midden E fan AB.
Sirkelje út E wei it punt C om nei it punt G op it ferlingde fan AB.

Dan is B de goudene sneed yn it linestik AG. Ommers:

$\frac{AG}{AB}=\frac{AE+EG}{AB}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi$ .

[bewurkje seksje] Goudene rjochthoeke

In goudene rjochthoeke, ûnderferdield yn in fjouwerkant en in lytsere goudene rjochthoeke

. In goudene rjochthoeke is in rjochthoeke mei siden yn de ferhâlding fan it goudene getal: lingte : breedte = φ.

As de breedte a is en de lingte a + b, dan jildt:

$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$

As we yn de goudene rjochthoeke in fjouwerkant tekenje, mei a as side, is de lytsere rjochthoeke dy't oerbliuwt opnij in goudene rjochthoeke. Troch dit proses mei de hieltiten lytsere rjochthoeke te herjeljen ûntstiet in goudene spiraal.

[bewurkje seksje] Wiskundige benaderingen

De wearde fan φ wurdt benadere troch de ferhâlding fan twa opienfolgjende getallen yn de rige fan Fibonacci. Om dit yn te sjen skriuwe wy φ as keatlingbreuk troch yn it rjochterlid fan de fergeliking φ = 1 + 1/φ, hieltiten φ troch 1 + 1/φ te ferfangen:

$\varphi =1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{...}}}}$

Dit komt, krektas yn de rige fan Fibonacci, mjitkundich del op, útgeande fan in willekeurige rjochthoeke, it steesoan in fjouwerkant oan de lange side fan de rjochthoeke tekenje, wêrtroch't φ hieltyd better benadere wurdt troch de ferhâldingen fan de siden fan de resultearjende totale rjochthoeke.

It goudene getal kin ek as keatlingwoartel útdrukt wurde:

$\varphi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\dots}}}$

[bewurkje seksje] Skiednis

[bewurkje seksje] Wiskunde

De fjouwer lingtes yn dit symboal (oanjûn mei ferskillende kleuren) ferhâldingen ta elkoar binne de goudene sneed

Ferhannelingen oer de goudene sneed komme wy yn it earstoan allinnich op wiskundich mêd tsjin. De earste dy't der eksplisyt oer skreaun wie Euklides. Yn syn Eleminten jout hy de earst bekende definysje fan de goudene sneed, dy't hy oantsjutte as "ekstreme en gemiddelde ferhâlding". Syn ferhanneling oer it ûnderwerp waard yn 1509 út it ferjitboek helle troch de Italjaan Luca Pacioli. Yn De Divina Proportione neamt dizze de goudene sneed de "godlike ferhâlding".

Johannes Kepler beskreaun de goudene sneed as in "kostber juwiel": "De mjitkunde hat twa grutte skatten: de iene is de stelling fan Pytagoras, en de oare de ferdieling fan in line yn ekstreme en trochsneed ratio; de earste kinne wy fergelykje mei in stik goud, de twadde meie wy in kostber juwiel neame."

Martin Ohm wurdt fan tocht de earste te wêzen dy't de term goudene sneed brûkte om dizze ferhâlding te beskriuwen. Hy die dat om 1830 hinne.

Roger Penrose ûntdekte in patroan (de Penrose-betegeling) dat de goudene sneed brûkt yn it fjild fan net-periodike flakfollingen. Dit late ta nije ynsichten yn kwasikristallen.

[bewurkje seksje] Estetika

It duorre oant de 19e ieu eardat de goudene sneed bûten it domein fan de wiskunde in bysûndere betsjutting takend waard. De goudene sneed soe sûnt dy tiid neffens guons in yntrinsike skientme hawwe wêrtroch't dy ferhâlding in soad foarkomme soe yn klassike arsjitektuer, skilderkeunst en yn de libbene natoer. De Dútser Adolf Zeising publisearre yn 1854 bygelyks Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers. Yn dat boek ferdigent hy de opfetting dat it ideale minsklike lichem folslein neffens de goudene sneedferhâlding opboud is. Ek de bylden dy't Phidias makke yn it Partenon wurde troch guont yn ferbân brocht mei de goudene sneed. De earste letter fan syn namme, de Grykske letter φ, waard dêrom troch Mark Barr brûkt om de goudene sneed oan te tsjutten.

De estetyske status fan de goudene sneed bliuwt omstriden. Earder as ± 1830 komt de goudene sneed net foar yn geskriften oer skilderkeunst of arsjitektuer en foar de bewearing dat de ferhâlding faak foarkomme soe of dat de minsk in ûnbewuste foarkar foar dizze ferhâlding hawwe soe, bestiet gjin wiskundich bewiis. It oardeel oft de goudene sneed op it mêd fan de estetika in bysûndere status takomt, bliuwt dêrmei ôfhinklik fan de yndividuele beskoger.

[bewurkje seksje] De Modulor

In arsjitektoanysk maatsysteem dat bewust gebrûk makket fan de goudene sneed is de Modulor. It systeem waard tusken 1942 en 1955 ûntwikkele troch de Switsersk-Frânske arsjitekt Le Corbusier en bestiet út twa rigen fan maten: de reade rige en de blauwe rige.

Foar de reade rige naam hy in maat fan 183 sm as útgongspunt -- neffens Le Corbusier de lingte fan it minsklik lichem. Troch dy maat hieltiten troch φ te dielen ûntstiet de rige 183, 113, 70, 43, 27...

Foar de blauwe rige die hy itselde mei in maat fan 226 sm -- de lingte fan it minsklik lichem mei útstutsen earm. Dy maat is teffens in ferdûbeling fan de 'nâlehichte' (113 sm) dy't ek al yn de reade rige stie: 226, 140, 86, 54 ...

In bekend foarbyld fan in op de Modulor basearre gebou is Le Corbusiers Unité d'Habitation ('wenienheid'): in "fertikale stêd" dêr't it earste eksimplaar fan yn 1947 yn Marseille boud waard. Letter folgen ferzjes yn Nantes, Berlyn, Briey en Firminy.

[bewurkje seksje] De goudene sneed yn de natoer

De lingte fan in grut blok mei in neistlizzend lytser blok is de goudene sneed, hjiryn is in logaritmyske spiraal tekene

De Fibonacci spiraal, basearre op de rige fan Fibonacci

Hoewol't wy gjin foarbylden kenne wêryn de goudene sneed as fuort sichtbere ferhâlding in bysûndere rôl yn de natoer spilet, komt hy wol op in yndirekte manier foar, nammentlik dêr wêr't wy de rige fan Fibonacci oantreffe. It kosjint fan twa op inoarfolgjende getallen út dy rige nadert, at wy de rige oant yn it ûneinige trochlûke, ta de goudenesneedferhâlding.

Wichtige dielen fan blommen lykas blomblêdsjes, siedden en tsjelkblêden groeie út stikjes weefsel (primordia) dy't ûntsteane op fêste plakken. De hoeken tusken dy opinoarfolgjende primordia lizze om 137,5°. Dizze hoeke is krekt de hoeke dy't ûntstiet by ferdieling fan 360° mei de goudene sneed. Men neamt in hoeke fan 137,5°, of syn tsjinhinger 360°–137,5°=225,5°, dan ek wol de goudene hoeke. Ut ûndersyk hat bliken dien dat dit foar in tige effisjinte folling fan it flak soarget wêrtroch't de bledsjes maksimaal út elkoar steane en it measte sinneljocht opfange kinne. Sinneblompitten wurde ek sa ferdield en ek de spiraalfoarmige blêdgroei wurdt op dyselde wize oriïntearre.

[bewurkje seksje] Mytes

Der besteane ek in soad mytes oer de goudene sneed, in bekend foarbyld is de skulp fan de nautilus. Omdat it dier deselde skulp yn syn groeiproses meidraacht groeit dizze neffens in skaalmodel; it poppedier is om samar te sizzen in miniferzje fan it folwoeksen bist. Alle krollen fan de skulp binne lykfoarmich en in fergrutte of ferlytse ferzje fan de oare, wy kinne dit ienfâldich neigean troch in rjochte te lûken út it sintrum wei troch inkelde krollen. De hoeke tusken de raakline en de lutsen line is dan yn elk punt lyk. Wy neame sa'n spiraal ek in logaritmyske spiraal. At dizze spiraal makke wêze soe middels de goudene rjochthoeke bedraacht dizze hoeke 99,02°, spitigernôch mjit de hoeke by in Nautilus 107,04°, in misfetting dus.

Leonardo Da Vinci's stúdzje nei geometryske ferhâldings yn Divina Proportione

Sa besteane der noch folle mear mytes oer de goudene sneed yn de natoer, minsken wolle it getal mei alderhanne saken yn ferbân bringe en brûke faak lokrake mjittings of lûke linen mei grutte foutemarzjes. It minsklik antlit soe sasein ek it estetyske ideaal wêze as it opboud is mei de ferhâlding fan de goudene sneed. Ut ûndersyk hat ommers bliken dien dat de minsk, as op it op ûnderlinge ferhâlding oankomt, it meast gefoelich is foar symmetry. De Goudene Sneed ferhâlding docht lykwols altyd wol harmoanysk oan, en is dus in graach sjoen antlit.

Der binne in soad mytes om it godlike getal of de goudene sneed, sa soe it al yn ferbân brocht wêze mei in tal minsklike lichemsdielen, Egyptyske piramides, Grykske timpels, ensfh. Net allegear ûnwierheden, want by in bousel resultearret de goudene sneed automatysk by it konstruearjen fan in rjochthoekige trijehoek mei diminsjes a, b en c, wêrby't jilde moat $\tfrac{c}{b} = \tfrac{b}{a}$ .^[1] Hiel wol yn de keunst (sjoch ek by Daan Parmentier) en fotografy wurdt de goudene sneed faak bewust tapast om in keunstwurk estetysk moaier lykje te litten; oft sa'n wurk echt moaier is mei syn hoarizon op de Goudene sneed bliuwt lykwols de fraach.

[bewurkje seksje] Keppeling om utens

Wikiwurdboek-side - goudene sneed.

[bewurkje seksje] Literatuer

Albert van der Schoot, De ûntstelling fan Pytagoras, Kok Agora, Kampen, 1998, ISBN|90-391-0754-8 Utjouwerij ir. C.J. Snijders,
De Gulden Snede, Utjouwerij De Driehoek, Amsterdam, 1969
De ûntstelling fan Pythagoras

[bewurkje seksje] Fuotnoat

↑ Al-Ahram Weekly | Heritage | Pi, Phi and the Great Pyramid

[0] Al-Ahram Weekly | Heritage | Pi, Phi and the Great Pyramid

[1]

Goudene sneed

Ut Wikipedy

Ynhâld

[bewurkje seksje] Wiskunde

[bewurkje seksje] Euklides

[bewurkje seksje] Konstruksje mei passer en liniaal

[bewurkje seksje] Oare konstruksje mei passer en liniaal

[bewurkje seksje] Goudene rjochthoeke

[bewurkje seksje] Wiskundige benaderingen

[bewurkje seksje] Skiednis

[bewurkje seksje] Wiskunde

[bewurkje seksje] Estetika

[bewurkje seksje] De Modulor

[bewurkje seksje] De goudene sneed yn de natoer

[bewurkje seksje] Mytes

[bewurkje seksje] Keppeling om utens

[bewurkje seksje] Literatuer

[bewurkje seksje] Fuotnoat

Aspekten/aksjes

Persoanlike ynstellings

Navigaasje

Sykje

helpmiddels

Oare talen